STATISTIKA

STATISTIKA STANDAR KOMPETENSI: 1. Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan, dan sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah. KOMPETENSI DASAR Membaca data dalam bentuk tabel dan diagram batang, garis, lingkaran, dan ogive 1.2 Menyajikan data dalam bentuk tabel dan diagram batang, garis, lingkaran, dan ogive serta penafsirannya 1.3 Menghitung ukuran pemusatan, ukuran letak, dan ukuran penyebaran data, serta penafsirannya INDIKATOR Membaca sajian data dalam bentuk diagram garis, diagram lingkaran dan diagram batang. Mengidentifikasi nilai suatu data yang ditampilkan pada tabel dan diagram Menyajikan data dalam bentuk diagram batang, garis, lingkaran, dan ogive serta penafsirannya Menafsirkan data dalam bentuk diagram batang, garis, lingkaran, dan ogive Membaca sajian data dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dan histogram. Menyajikan data dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dan histogram. Menentukan rataan, median, dan modus. Memberikan tafsiran terhadap ukuran pemusatan. PENGERTIAN STATISTIKA adalah ilmu yang mempelajari cara mengumpulkan, menyajikan, mengolah data, dan menarik kesimpulan. Dari seg pengerjaannya statistik terbagi tiga sebagai berikut : Statistik yang mengungkap tentang pengumpilan data. Pekerjaan ini serig disebut statistika compiling. Statistika yang mengupas tentang cara menyusun, menyajikan,dan mengolah data. Pekerjaan ini sering disebut statistika deskriptif Statistika yang mengupas tentang cara menyimpulkan data yang telah dsusun. Pekerjaan ini sering disbut statistika induktif PENGUMPULAN DATA Langsung pada objek yang akan diteliti melalui wawancara atau angket dan melalui narasumber atau lembaga data. PENYAJIAN DATA Dapat disajikan dalam berbagai bentuk antara lain : daftar / tabel, tabel frekuensi dan diagram. Daftar (tabel) Data yang telah terkumpul perlu disusun agar mudah dibaca. Perlunya penyajian data dalam suatu bentuk akan lebih jelas degan melihat contoh berikut : Tabel 1.1 Banyaknya pelajar SMAN 1 Bantul tahun 2007 Kelas Jenis kelamin Jumlah Laki-laki perempuan Kelas 1 90 70 160 Kelas 2 85 77 162 Kelas 3 80 78 158 Jumlah 255 225 480 Dengan melihat dan mengamati data dalam tabel 1.1 diatas, dapat mengetahui dengan mudah jumlah pelajar perempuan kelas 2 SMAN 1 Bantul tahun 2007 Tabel Frekuensi Diperoleh data nilai ulangan matematika 40 siswa, yaitu : 50, 75, 65, 60, 95, 55, 70, 50, 55, 65, 75, 90, 55, 45, 80, 65, 70, 40, 65, 60, 90, 70, 80, 65, 70, 40, 65, 60, 90, 70, 80, 45, 80, 75, 55, 45, 90, 75, 75, 75, 85, 55, 80, 45. Tabel frekuensi data ulanga Matematika disajikan dalam bentuk tabel berikut ini. Tabel 1.2 Tabel frekuensi nilai ulangan matematik. nilai Turus frekuensi 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 I IIIII II IIIII II IIIII III IIIIII IIIII II III I 1 5 2 5 2 5 3 6 5 2 3 1 Jumlah 40 Dari tabel frekuensi daiatas dapat dilihat siswa yang memperoleh nilai dibawah atau diatas nilai tertentu, tabel frekuensi kumulatif kurag dari atau lebih dari. Tabel 1.3 Nilai Frekuensi Kumulaitf kurang dari 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 0 1 6 8 13 15 20 23 29 34 36 39 40 Tabel 1.4 Nilai Frekuensi Kumulaitf lebih dari 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 40 39 36 34 29 23 20 15 13 8 6 1 0   DISTRIBUSI FREKUENSI Distribusi ini dibuat jika kita ingin mengelopmpokkan data. Tersedia data hasil ulangan matematika dari 40 siswa berikut ini : 49, 61,80, 84, 64, 77, 60, 45, 89, 75, 74, 52, 78, 59, 80, 62, 52, 72, 48, 69, 75, 90, 85, 74, 62, 47, 77, 76, 45, 82, 90, 66, 70, 60, 80, 83, 87, 86, 73, 50. Langkah-langkah untuk memasukkan data ke dalam distribusi frekuensi sebagai berikut. Tentukan skor maksimum (nilai tertinggi) dan skor minimum (nilai terendah). Skor maksimum = 90. Skor minimum = 45. Sebaran (range = rentangan) = Rg, Rg = skor maksimum – skor minimum. Rg = 90-45 = 45 Tentukan banyaknya kelompokan (interval kelas). Untuk menentukan interval kelas bisa digunakan aturan “STURGES” dengan rumus : k≅1+3,3 log⁡〖 n〗 dengan k≅1+3,3 log⁡40 n : banyaknya data k≅1+3,3 log⁡40 ≅1+3,3 log⁡(1,6) ≅6,28 dapat dibulatkan menjadi 7 kelas atau 7 kelompok (tidak ada aturan yang pesti tentang pembulatan ini) Aturan ini tidak selalu harus digunakan, hanya sebagi pikiraan. Sebaiknya k berada dalam interval 6≤k≤15 dan bergantung pada pertimbangan data yang ada. Jika k terlalu besar, mungkin saja ada interval kelas yang frekuensinya nol (0), begitu juga sebaliknya. Tentukan lebar interval atau panjang kelas (l), yaitu selisih antara batas bawah/atas dua interval kelas yang berdekatan. Lebar iterval dapat dicari dengan rumus berikut. i=I= Rg/k=45/7=63/7≅7 Tentukan batas bawah interval kelas yang mengandung skor minimum. Distribusi frekuensi data diatas dengan mengambil k=7, I=7, dan skor terendah 45 disajikan pada dibawah ini. No Kelas Nilai Turus Frkuensi (f) 1 2 3 4 5 6 7 45-51 52-58 59-65 66-72 73-79 80-86 87-93 IIIII I II IIIII II IIII IIIII IIII IIIII III IIII 6 2 7 4 9 8 4 Jumlah 40 f 9 8 7 6 5 4 3 2 1 44,5 51,5 58,5 65,5 72,5 79,5 86,5 93,5 nilai   Contoh : Data berikut ini adalah data berat badan sekelompok siswa. Tinggi (cm) Frekuensi 151-155 5 156-160 20 161-165 k 166-170 26 171-175 7 Jika median data diatas163,5 cm, tentukan nilai k! Jawab : Tinggi (cm) Frekuensi 151-155 5 156-160 20 161-165 k 166-170 26 171-175 7 58+k 163,5 terletak pada interval 161-165 Me = 160,5 + 5 ((1/2 (58+k)-25))/k=163,5 = 160,5 + 5((29+1/2 k)-25)/k = 163,5 = 160,5 + 5((4+1/2 k)/k)=163,5 atau (163,5 – 160,5)k = 20 + 2,5k 0,5k = 20 → k = 40 E. Kuartil Misalnya ada data sebanyak n ≥4. Kemudian tentukan 3 bilangan sehingga ketiga bilangan itu membagi data dalam 4 bagian yang sama. Ketiga bilangan tersebut disebut kuartil, yaitu K_1,K_2,K_3. Misalnya x_1,x_2,x_(3,) x_4,⋯,x_n (data yang sudah diurutkan) Letak kuartil : K_1adalah data ke (n+1)/4 K_(2 )adalah data ke (2(n+1))/4=Me K_3 adalah data ke (3(n+1))/4 Untuk data berkelompok kuartil dicari dengan K_i =Tb + l ((in/2-F))/f K_i : kuartil ke-i Tb : batas bawah dari kelas yang mengandung kuarti ke-i n : banyaknya data F : jumlah frekuensi semua kelas interval yang lebih kecil dari kelas kuartil ke-i f : frekuensi dari kelas kuartil ke-i. Contoh : Diketahui data ulangan 10 siswa : 70, 65, 70, 80, 85, 90, 65, 75, 80, 85,. Tentukan K_1,K_2,K_3.! Jawab : 65, 65, 70, 70, 75, 80, 80, 85, 85, 90. K_1terletak pada data ke (10+1)/4=23/4 (antara 65 dan 70) Jadi K_1= 65 + 3/4(70-65) = 65 + 3/4(5) = 65+ 3 3/4 = 683/4 K_2 terletak pada data ke ke (2(n+1))/4=(2(10+1))/4=22/4=51/2 (antara 75 dan 80) Jadi K_2 = 75 + 1/2(80-75) = 75 + 1/2(5) = 75+ 2 1/2 = 771/2 K_3 terletak pada data ke (3(n+1))/4=(3(10+1))/4=33/4=81/4 (antara 85 dan 85) Jadi K_3 = 85 + 1/4(85-85) = 85 + 0 = 85. Contoh : Diketahui distribusi frekuensi. Nilai Frekuensi 50 – 54 55 – 59 60 – 64 65 – 69 70 – 74 75 – 79 80 – 84 4 8 14 35 27 9 3 Tentukan kuartil ke-1! Jawab : K_1adalah data ke (n+1)/4 sama dengan data ke 251/4→K_(1 )pada kelas ke-3, yaitu pada kelas (interval) 60 – 64.Tb = 59,5; l = 5; F = 4+8 = 12; f = 14; n = 100. K_1 = Tb + l ((in/4-F)/f) = 59,5 + 5 ((1(100)/4-12)/14) = 59,5 + 65/14= 64,14 Desil dan Persentil Dua ukuran data lain yang sering juga dipakai adalah Desil dan Perpentil yang masing-masing membagi data menjadi 10 dan 100 bagian. Menentuka desil dan persetil dari data terurut, prosedurnya sama seperti menentukan kuartil, hanya saja 1/2 n diganti dengan m/10 n atau m/100 n Desil Membagi data 10 bagian sama banyak setelah diurutkan (D_1,D_1,⋯,D_9) Dm = b_(m )+ ((m/10 n-f_kksd)/f_Dm ).k Dengan : Dm = desil m = 1,2,3,...,9 b = tepi bawah kelas desil ke – m n = ukuran data f_kksd = frekuensi kumulatif kurang dari sebelum kelas desil ke – m f_dm = frekuensi dari kelas desil ke – m k = pan jang kelas Persentil Membagi data menjadi 100 bagian sama banyak setelah diurutkan (P_1,P_1,⋯,P_99) Pm = b_(m )+ ((m/100 n-f_kksd)/f_Pm ).k Dengan Pm = persentil m = 1,2,3,...,99 b = tepi bawah kelas persentil ke – m n = ukuran data f_kksd = frekuensi kumulatif kurang dari sebelum kelas persentil ke – m f_dm = frekuensi dari kelas desil ke – m k = pan jang kelas F. Modus (Mo) Modus adalah data yang sering muncul dengan frekuensi terbanyak. Contoh : Tentukan modus dari data : 2, 3, 4, 7, 8, 2, 2 → Mo = 2 3, 5, 6, 4, 4, 3 → Mo = 3 dan 4 (bimodus) 4,5,6 → tidak ada modus. Modus untuk data berkelompok untuk data modus berkelompok dapat dicari dengan rumus : Mo = Tb + l (b_1/(b_1-b_2 )) Mo : modus Tb : batas bawah kelas modus l : panjang kelas b_1 : beda frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya. b_2 : beda frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya. Contoh : Tentukan modus dari data berikut. No Nilai Frekuensi 1 50 – 54 4 2 56 – 59 8 3 60 – 64 14 4 65 – 69 35 5 70 – 74 27 6 75 – 79 9 7 80 – 84 3 Jawab : Frekuensi yang paling banyak terletak pada kelas ke-4, maka kelas ke-4 adalah kelas modus. Tb = 64,5; l = 5; b_1=35-14=21; b_2=35-27=8 Jadi, Mo = 64,5 +5(21/(21+8)) = 64,5 + 105/29 =68,12 Contoh : Tentukan modus dan rata-rata data pada histogram dibawah ini. f 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 13,5 18,5 23,5 28,5 33,5 nilai Jawab : Tb =23,5; l = 28,5 - 23,5= 5; b_1=10-4=6; b_2=10-6=4 Mo = 23,5 +56/(6+4)=23,5+3=26,5 Mencari rata-rata : Titik tengah (nilai tengah) masing-masing interval adalah 16, 21, 26, dan 31. Rata-rata : x ̅=(∑▒〖f_i x_i 〗)/n=(3.16+4.21+10.26+6.31)/100=5,78 C. UKURAN PENYEBARAN / UKURAN PENYIMPANGAN Yang termasuk dalam ukuran penyebaran diantaranya : Range Range (sebaran/rentangan/jangkauan) = Rg adalah selisih antara data terbesar dengan data terkecil, atau Rg=data max – data min Jangkauan semi- interkuartil (simpangan kuartil) Jangkauan semi-interkuartil dirumuskan sbagai berikut : K_d=1/2 (K_3-K_1 ) dengan : K_3= kuartil ke-3 dan K_1=kuartil ke-1 Deviasi rata-rata (DR) Jika ditentukan n buah data x_1,x_2,x_(3,) x_4,⋯,x_n dengan rata-rata x ̅, maka DR=(|x_1-x ̅ |+|x_2-x ̅ |+|x_3-x ̅ |+⋯+|x_n-x ̅ |)/n=(∑_(i=1)^n▒|x_i-x ̅ | )/n Deviasi standar (simpangan baku) SD=√(((x_1-x ̅ )^2+(x_2-x ̅ )^2+(x_3-x ̅ )^2+⋯+(x_n-x ̅ )^2)/n)=√((∑▒(x_i-x ̅ )^2 )/n) atau SD= √((∑▒x_i^2 )/n-((∑▒x_1 )/n)^2 ) Untuk data yang berkelompok : Range : data terbesar – data terkecil Simpangan kuartil : K_d=1/2 (K_3-K_1 ) Devisiasi rata-rata : DR = (∑_(i=1)^n▒|x_i-x ̅ | .f_1)/n Devisiasi standar (simpangan baku) : SD= √((∑▒〖f_i (x_1-x ̅ )^2 〗)/n) Contoh : Misal ada data 4, 6, 7, 11, 15, 21, 19. Tentukan simpangan kuartilnya ! Jawab : 4, 6, 7, 11, 15, 19, 21. K_3 ada pada data ke 3(7+1)/4=6, yaitu 19 K_1ada pada data ke ((7+1))/4=2, yaitu 6. Range (Rg) = 21-4 = 17 K_d=1/2 (19-6)=6,5 Jadi, simpangan kuartilnya untuk data diatas adalah 6,5. Contoh : Tentukan deviasi rata-rata dan deviasi standar dari data 1, 2, 3, 4, 5! Jawab : DR=(|1-3|+|2-3|+|3-3|+|4-3|+|5-3|)/5=(2+1+0+1+2)/5=11/5 Deviasi standar dapat di cari dengan cara berikut : x_i x ̅_i x_i-x ̅^2 〖(x〗_i-x ̅^2) (〖x_i)〗^2 1 2 3 4 5 3 3 3 3 3 -2 -1 0 1 2 4 1 0 1 4 1 4 9 16 25 15 0 10 55 SD = √(10/5)=√2 atau SD = √(55/5-(15/5)^2 )=√(11-9)=√2 Contoh : Pada suatu ujian yang diikuti oleh 50 siswa diperoleh rata-rata nilai ujian 35, dengan median 40 dan simpangan baku 10,. Karena rata-rata ilai terlalu rendah, maka semua nilai dikalikan 2, kemudian dikurangi 15, tentukan rata-rata nilai ujian, simpangan baku dan median yang baru. Jawab : Rata-rata nilai ujian 50 siswa x ̅=35;Me=40;SD=10 Jika semuanya dikalikan 2 dikurangi 15, maka x ̅ = 2(35) – 15 = 70 – 15 = 55 Me = 2(40) – 15 = 80 – 15 = 65 SD = 2 (10) = 20 Contoh : Diketahui x_1 = 3,5; x_2 = 5,0; x_3 = 6,0; x_4 = 7,5; x_5 = 8,0. Jika deviasi rata-rata nilai tersebut dinyatakan dengan rumus ∑_(i=1)^n▒|x_i-x ̅ |/n; dengan ∑_(i=1)^n▒x_i/n=x ̅, tentukan deviasi rata-rata nilai diatas! Jawab : x ̅=∑_(i=1)^n▒x_i/5=(x_1+x_2+⋯+x_5)/5=(3,5+5,0+6,0+7,5+8,0)/5=6,0 DR=∑▒|x_i-x ̅ |/n =(|3,5-6|+|5,0-6|+|6,0-6|+|7,5-6|+|8,0-6|)/5=(2,5+1+0+1,5+2)/5=7/5=1,4   RANGKUMAN Ukuran tendensi pusat Mean / nilai rata-rata Data tunggal : x ̅=(x_1+x_2+x_3+⋯+x_n)/n x ̅=(∑▒x_n )/n Data kelompok : x ̅=(f_1 x_1+f_2 x_2+f_3 x_3+⋯+f_n x_n)/(f_1+f_2+⋯+f_n ) ( x) ̅=(∑▒〖f_n x_n 〗)/(∑▒f_n ) Median Bilangan yang terletak ditengah setelah data diurutkan. Data tunggal Contoh : 12345678 →Me = 5 234578 → Me = (4+5)/2=4,5 Data kelompok Me=Tb + l ((1/2 n-F))/f Me : median Tb : tepi bawah l : panjang kelas F : jumlah frekuensi kelas-kelas yang lebih rendah dari kelas median. f : frekuensi kelas median. Tb yaitu batas bawah dikurangkan dengan 0,5. Sedangkan tepi batas atas ditambahkan dengan 0,5. n : banyaknya data Modus Modus adalah data/ ukuran yang paling sering muncul. Data tunggal : 2,3,4,5,5,6,7,8,5,4,9 → Mo = 5 Data kelompok : Mo = Tb + l (b_1/(b_1-b_2 )) Mo : modus Tb : batas bawah kelas modus l : panjang kelas b_1 : beda frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya. b_2 : beda frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya. Ukuran letak kumpulan data Kuartil bawah K_1, Kuartil tengah K_2, kuartil atas K_2 = K_i= Tb + l ((in/4-F))/f k_i : kuartil ke-i Tb : batas bawah dari kelas yang mengandung kuarti ke-i n : banyaknya data F : jumlah frekuensi semua kelas interval yang lebih kecil dari kelas kuartil ke-i f : frekuensi dari kelas kuartil ke-i. Desil Membagi data 10 bagian sama banyak setelah diurutkan (D_1,D_1,⋯,D_9) Dm = b_(m )+ ((m/10 n-f_kksd)/f_Dm ).k Dengan : Dm = desil m = 1,2,3,...,9 b = tepi bawah kelas desil ke – m n = ukuran data f_kksd = frekuensi kumulatif kurang dari sebelum kelas desil ke – m f_dm = frekuensi dari kelas desil ke – m k = pan jang kelas Persentil Membagi data menjadi 100 bagian sama banyak setelah diurutkan (P_1,P_1,⋯,P_99) Pm = b_(m )+ ((m/100 n-f_kksd)/f_Pm ).k Dengan Pm = persentil m = 1,2,3,...,99 b = tepi bawah kelas persentil ke – m n = ukuran data f_kksd = frekuensi kumulatif kurang dari sebelum kelas persentil ke – m f_dm = frekuensi dari kelas desil ke – m k = pan jang kelas Ukuran penyebaran data Jangkauan = nilai tertinggi – nilai terendah Simpangan kuarti = (K_3-K_1)/2 Simpangan rata-rata = SR=(∑▒|x_1-x ̅ | )/n Simpangan baku = √((∑▒(x_i-x) )/n) EVALUASI Diketahui data terurut berikut 3,5,7,8,9,12,13. Berapakah K_1,K_2,dan K_3? 1,2, dan 3 4, 5, dan 8 5,6, dan 12 5, 8, dan 12 Diketahui data terurut banya novel yang dimiliki delapan siswa adalah sebagai berikut 3,5,7,8,12,12,13,18. Berapakah nilai K_1,K_2,dan K_3? 6, 10, dan 12,5 10, 6, dan 12,5 10, 12,5 dan 6 12,5, 10 dan 6 Untuk data terurut pada soal no. 3 mengenai banyak novel yang dimiliki delapan siswa, berapakah nilai rataan kuartilnya? 9,55 9,45 9,35 9,25 Berapakah nilai rataan pada data berikut dengan mengunakan rataan sementara? Nilai 4 5 6 7 8 Frekuensi 3 7 12 11 7 6,3 6,2 6,1 6,0 Berapakah rataan hitung dari data kelompok berikut? Nilai Frekuensi 30 – 39 2 40 – 49 5 50 – 59 8 60 – 69 11 70 – 79 7 80 – 89 4 90 – 99 3 Total 40 66,5 65,5 64,5 63,5 Berapakah nilai rataan hitung data pada no. 5 dengan menggunakan rataan sementara? 64,5 63,5 62,5 61,5 Nilai Frekuensi 30 – 39 2 40 – 49 4 50 – 59 8 60 – 69 11 70 – 79 7 80 – 89 5 90 – 99 3 Total 40 Berapakah nilai modus dari data di bawah ini? 61,79 62,79 63,79 64,79 Berapakah nilai jangkauan antar kuartil dan simpangan kuartil dari data dibawah ini? Nilai Frekuensi 55-59 7 60-64 12 65-69 23 70-74 21 75-79 18 80-84 10 85-89 8 90-94 1 12,029 13,029 14,029 15,029 Dari data nomer 8, berapakah nilai simpangan kuartilnya? 7,0145 6,0145 5,1045 4,0145 Berapakah nilai simpangan baku dari data dibawah ini? Nilai Frekuensi 141-147 2 148-154 7 155-161 12 162-168 10 169-175 9 176-182 7 183-189 3 11,0 10,9 10,8 10,7 Kunci Jawaban D A D A C A C A B B   PELUANG Standar kompetensi Menggunakan aturan statiska, kaidah pemecahan, dan sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah Kompetensi dasar 1.4 Menggunakan aturan perkalian, permutasi dan kombinasi dalam pemecahan masalah. Menentukan ruang sampel suatu percobaan. Menentukan peluang suatu kejadian dan penafsirannya. Indikator Menyusun aturan perkalian, permutasi dan kombinasi Menggunakan aturan perkalian, permutasi dan kombinasi Menentukan banyak kemungkinan kejadian dari berbagai situasi Menuliskaaan himpunan kejadian dari suatu percobaan Menentukan peluang kejadian melalui percobaan Menentukan peluang suatu kejadian secara teorotis KAIDAH PENCACAHAN (Counting Rules) Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering dihadapkan pada pemecahan masalah yang berkaitan dengan menentukan atau menghitung berapa banyak cara yang mungkin terjkadi dari sebuah percobaan. Sebagai ilustrasi simaklah contoh berikut. Masalah pada contoh diatas dapat dipecahkan dengan menggunakan kaidah pemecahan (counting rules). Dalam kaidah pencacahan, banyak cara yang mungkin terjadi dari sebuah percobaan dapat ditentukan dengan memakai salah satu atau gabungan dari metode berikut ini: Aturan pengisisan tempat yang tersrdia (filling slots) Permutasi Kombinasi Aturan Pengisian Tempat (Filling Slots) Yang Tersedia ( Aturan Perkalian) Untuk memahami kaidah pencacahan dengan menggunakan aturan pengisian tempat yang tersedia, perhatikan kembali persoalan contoh 1. Dalam contoh itu, tersedia: 2 buah celana masing-masing berwarna biru dan hitam 3 buah baju masing-masing berwarna kuning, merah dan putih Banyak pasangan warna celana dan baju yang mungkin disusun dapat dicari dengan beberapa cara yang pernah kita pelajari sebelumnya, yaitu: Diagram Pohon k (kuning) (b, k) b (biru) m (merah) (b, m) p (putih) (b, p) k (kuning) (h, k) h (hitam) m (merah) (h, m) p (putih) (h, p) Berdasarkan pada diagaram pohon pada gambar tersebut, terlihat bahwa pasangan warna celana dan baju yang dapat disusun ada 6 macam. Keenam pasang warna celana dan baju itu adalah (b, k), (b, m), (b, p), (h,k), (h, m) dan (h, p). Pasangan (b, k), artinya celana berwarna biru dan baju berwarna kuning, …. dan seterusnya. Diagram Silang warna k (kuning) m (merah) p (putih) b (biru) (b, k) (b, m) (b, p) h (hitam) (h, k) (h, m) (h, p) Keterangan: ke kanan warna baju, sedangkan ke bawah warna celana. Berdasarkan table silang diatas, terlihat bahwa pasangan warna celana dan baju yang dapat disusun ada 6 macam. Diagram Terurut Misalkan himpunan warna celana dinyatakan dengan A = {b, h} dan himpuna warna baju dinyatakan dengan B = {k, m, p}. Himpuna pasangan terurut dari himpunan A dan himpunan B ditulis sebagai : A × B menyatakan banyak pasangan warna celana dan baju yang dapat disusun, yaitu ada 6 macam pasangan warna. Berdasarkan deskripsi tersebut, dapat diambil kesimpulan secara umum sebagai berikut: Misalkan terdapat n buah tempat tersedia, dengan: k_1 adalah banyak cara untuk mengisi tempat pertama, k_2 adalah banyak cara untuk mengisi tempat kedua setelah tempat pertama terisi, k_3 adalah banyak cara untuk tempat ketiga setelah tempat pertama dankedua terisi, … , demikian seterusnya. k_n adalah cara untuk mengisi n tempat yang tersedia secara keseluruhan adalah k_1 × k_2 × k_3 × … × k_n Aturan tersebut dikenal sebagai aturan pengisian tempat yang tersedia (filling slots) dan sering pula disebut aturan dasar pembilang atau aturan perkalian. Perhatikan bahwa dalam menentukan banyak cara untuk mengisi n tempat yang tersedia tadi, digunakan operasi perkalian dalam aljabar biasa. Contoh 2 : Seorang hendak bepergian dari kota A menuju kota C melalui kota P atau kota Q. Dari kota A ke kota P ada 3 jalan dan dari kota P ke kota C ada 4 jalan. Dari kota A ke kota Q ada 2 jalan dan dari kota Q ke kota C ada 5 jalan. Dari kota P ke kota Q atau sebaliknya tidak ada jalan. Gambarlah jaringan yang menunjukkan hubungan antara kota-kota A, P, Q dan C. Berapa banyak cara yang dapat ditempuhuntuk bepergian dari kota A menuju kota C? Jawab: jaringan yang menunjukkan hubungan antara kota-kota A, P, Q dan C diperlihatkan pada gambar berikut ini. Banyak cara bepergian dari kota A ke kota C melalui kota P. Dari kota A ke kota P dapat dipilih dengan 3 cara Dari kota P ke kota C dapat dipilih dengan 4 cara Dari kota A ke kota C (elalui kota P) ada 3 × 4 =12 cara. Banyak cara bepergian dari kota A ke kota C melalui kota Q. Dari kota A ke kota Q dapat dipilih dengan 2 cara Dari kota Q ke kota C dapat dipilih dengan 5 cara Dari kota A ke kota C(melalui kota Q) ada 2 × 5 = 10 cara Jadi banyak cara yan dapat ditempuh untuk bepergisn dari kota A menuju kota C (melalui kota P atau kota Q) seluruhnya ada 12 + 10 = 22 cara. Pada contoh tersebut ada beberapa hal yang perlu dicatat. Berpergian dari kota A ke kota C melalui kota P dan berpergian dari kota A ke kota C melalui kota Q adalah dua peristiwa yang saling lepas. Banyak cara berpergian dari kota A ke kota C melalui kota P atau Q sama dengan banyak cara berpergian dari kota A ke kota C melalui kota P ditambah banyak cara berpergian dari kota A ke kota C melalui kota Q. Dengan demikian, untuk peristiwa-peristiwa yang saling lepas dapat diambil kesimpulan secara umum sebagai berikut, Misalkan terdapat n buah peristiwa yang saling lepas, dengan: c_1 adalah banyak cara pada peristiwa pertama, c_(2 )adalah banyak cara pada peristiwa kedua, c_3 adalah banyak cara pada peristiwa ketiga, …, dan seterusnya c_n adalah banyak cara pada peristiwa ke-n Banyak cara untuk buah peristiwa itu secara keseluruhan adalah c_1 + c_(2 ) + c_3 + … + c_n Permutasi Faktorial dari Bilangan Asli Faktorial dari suatu bilangan asli didefinisikan sebagai berikut. Definisi : Untuk setiap bilangan asli n, didefinisikan: n! = 1 × 2 × 3 × … × (n - 2) × (n - 1) × n Lambang atau notasi n! dibaca sebagai n factorial. Didenifisikan pula bahwa: 1! = 1 dan 0! = 1 Dengan menggunakan definisi tersebut, factorial suatu bilangan asli dapat ditentukan. Sebagai contoh: 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24. Permutasi dari Unsur-unsur yang Berbeda Misalkan dari tiga buah angka 1, 2, dan 3 akan disusun suatu bilangan yang terdiri atas tiga angka dengan bilangan-bilangan itu tidak mempunyai angka yang sama. Susunan yang dapat dibentuk adalah: 123 132 213 231 312 321 Banyak cara untuk membuat susunan seperti itu adalah 3 × 2 × 1 = 6 cara. Susunan yang diperoleh seperti diatas tersebut permutasi 3 unsur yang diambil dari 3 unsur yang tersedia. Berdasarkan diskripsi diatas, permutasi dapat didefinisikan sebagai berikut. Definisi: Permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia (tiap unsur itu berbeda) adalah susunan dari r unsur itu dalam urutan (r ≤ n). Banyak permutasi r unsur yang diambil dari n unsure yang tersedia dilambangkan dengan notasi : P_r^n Jika r = n maka banyak permutasi n unsure yang diambil dari n unsure yang tersedia (biasa disingkat: permutasi n unsure) dilambangkan dengan notasi: P_n^n Contoh 3: Berapakah banayak permutasi dari 4 huruf A, B, C dan D ? Jawab: Sebuah contoh permutasi atau susunan 4 huruf dalam suatu urutan adalah Huruf pertama huruf kedua huruf ketiga huruf keempat B D A C Huruf pertama dalam susunan itu dapat dipilih dengan 4 cara, yaitu huruf A, atau B, atau C, atau D. Huruf kedua dapat dipilih dengan 3 cara. Misalnya, jika huruf pertama dipilih B maka huruf kedua yang dapat dipilih adalah D, atau A, atau C. Huruf ketiga dapat dipilih dengan 2 cara. Misalnya, jika huruf pertama dipilih B dan huruf kedua dipilih D, maka huruf ketiga yang dapat dipilih adalah A, atau C. Huruf kedua dapat dipilih dengan 1 cara. Misalnya, jika huruf pertama dipilih B huruf kedua dipilih D, dan huruf kedua dipilih A, maka huruf keempat tinggal 1 pilihan adalah huruf C. Dengan menggunakan aturan perkalian, banyak susunan yang mungkin itu seluruhnya adalah 4 × 3 × 2 × 1 = 4! = 24 Berdasarkan contoh diatas, terlihat bahwa banyak permutasi 4 unsur adalah P_4^4 = 4 × 3 × 2 × 1 = 4! Secara umum dapat disimpulkan bahwa: Banyak permutasi n unsure ditentukann dengan aturan: P_n^n = n × (n – 1) × (n – 2) × … × 3 × 2 × 1 = n! Contoh 4 : Berapakah banyak permutasi 2 huruf yang diambil dari huruf-huruf A, B, C, D dan E? Jawab: Sebuah contoh permutasi atau susunan 2 huruf yang diambil dari huruf-huruf A, B, C, D dan E adalah: Huruf pertama huruf kedua D E Huruf pertama dalam susunan itu dapat dipilih dengan 5 cara, yaitu huruf A, atau B, atau C, atau D, atau E. Huruf kedua dapat dipilih dengan 4 cara. Misalnya jika huruf pertama dipilih D, maka huruf kedua yang dapat dipilih adalah huruf A, B, C, atau E. Dengan menggunakan aturan perkalian, banyak susunan yang mungkin itu seluruhnya adalah: 5 × 4 = 5!/3! =20 Berdasarkan deskripsi pada contoh tersebut, terlihat bahwa banyak permutasi 2 unsur yang diambil dari 5 unsur yang tersedia adalah : P_2^5 = 5 × 4 = 5!/3! = 5!/(5-2)! Secara umu dapat disimpulkan bahwa: Banyak permutasi r unsur yang diambil dari n unsure yang tersedia ditentukan dengan aturan: P_r^n = n × (n – 1) × (n – 2) × … × (n – r + 1) = n!/(n-r)! Contoh 5: Hitunglah tiap permutasi berikut: P_2^4 P_5^5 Jawab: P_2^4 = 4!/(4-2)! = 4!/2! = (1 ×2 ×3 ×4)/(1 ×2) = 3 × 4 = 12 P_5^5 = 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120 Permutasi yang Memuat Beberapa Unsur Sama Pada pasal ini akan dibahas bagaimana mencari permutasi jika dari n unsur yang tersedia memuat beberapa unsur yang sama. Simaklah contoh berikut ini. Contoh 6: Berapa banyak permutasi 3 huruf yang diambil dari nhuruf-huruf A, A dan B? Jawab: Unsur yang tersedia ada 3, yaitu huruf-huruf A, A dan B. Dari 3 unsur yang tersedia memuat 2 unsur yang sama yaitu huruf A. Banyak permutasi 3 unsur yang memuat 2 unsur yang sama tersebut akan dicari melalui pendekatan banyak permutasi 3 unsur yang berbeda. Untuk tujuan itun, huruf yang sama (huruf A) dibubuhi indeks 1 dan 2 sehingga dioperoleh huruf-huruf A_1, A_2 dan B (3 unsur yang berbeda). Banayak permutasi 3 unsur yang berbeda ( A_1, A_2 dan B) adalah 3! = 6 yaitu permutasi-permutasi: A_1 A_2B, A_2 A_1B, A_1B A_2, A_2BA_1, B A_1 A_2, BA_2 A_1. Permutasi-permutasi tersebut dikelompokkan sedemikian rupa sehingga dalam satu kelompok memuat permutasi yang sama apabila indeksnya dihapuskan. Misalnya: Kelompok A_1 A_2Bdan A_2 A_1B jika indekdeks dihapus diperoleh permutasi AAB. Kelompok A_1B A_2 dan A_2BA_1 jika indekdeks dihapus diperoleh permutasi ABA. Kelompok B A_1 A_2 dan BA_2 A_1 jika indekdeks dihapus diperoleh permutasi BAA. Dalam tiap-tiap kelompok diatas terdapat 2! = 2 permutasi, yaitu menyatakan banyak permutasi dari unsur A_1 dan A_2. Sedangkan A_1 dan A_2 menjadi unsure-unsur yang sama jika indeksnya dihapuskan. Dengan demikian, banyak permutasi 3 unsur yang memuat 2 unsur yang sama dapat ditentukan sebagai berikut. Banyak unsur yang tersedia di angka 3 P = (3 !)/(2 !) = (3 ×2 ×1)/(2 ×1) = 3 Banyak unsur yang sama diangka 2 Jadi banyak permutasi dari huruf-huruf A, A, dan B ada 3 macam. Kegita permutasi itu adalah AAB, ABA dan BAA. Berdasarkan deskripsi pada contoh tersebut, dapat diambil kesimpulan secara umum sebagai berikut. Misalkan dari n unsure yang tersedia terdapat k unsure yang sama (k ≤ n), maka banyak permutasi dari n unsure itu ditentukan dengan aturan : P = n!/k! Misalkan dari n unsur yang tersedia terdapat k unsure yang sama, l unsur yang sama dan m unsure yang sama (k + l m ≤ n), maka banyak permutasi dari n unsure itu ditentukan dengan aturan: P = n!/(k! l! m!) Contoh 7: Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibentu dari huruf-huruf B, E, R, J, E, J, E dan R? Jawab: Banyak unsur n = 8, banyak unsure yang tak sama k = 3 (untuk huruf E), k = 2 (untuk huruf R) dan m=2 (untuk huruf J). P = 8!/(3! 2! 2!) =(1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 )/((1 × 2 × 3) (1 × 2) (1 × 2)) = 5 × 6 × 7 × 8 = 1.680 Jadi banyak unsure huruf yang dapat dibentuk dari huruf B, E, R, J, E, J, E dan R ada 1.680 macam. Contoh 8: Dari 9 buah kelereng, 2 buah berwarna merah, 4 buah berwarna kuning, dan 3 buah berwarna hitam. Berapa banyak cara untuk menyusun 9 buah kelereng itu secara berdampingan? Jawab: P = 9!/(2! 4! 3!) =(1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 )/((1 × 2) (1 × 2 × 3 × 4) (1 × 2 × 3)) = 5 × 7 × 4 × 9 = 1.260 Jadi banyak cara untuk menyusun 9 buah kelereng secara berdampingan ada 1.260 macam. Permutasi Siklis Misalkan tiga orang A (Ani), B (Boy), dan C (Carli) menempati tiga buah kursi yang mengelilingi sebuah meja bundar. Susunan penempatan tiga orang itu diperlihatkan pada gambar berikut. (b) Gambar 2-1 Perhatikan bahwa susunan ABC, susunan BCA dan susunan CAB adalah sebuah susunan yang sama, yaitu susunan yang diperlihatkan pada gambar 2-1a. Susunan ACB, susunan CBA dan susunan BAC adalah sebuah susunan yang sama, yaitu susunan yang diperlihatkan pada gambar 2-1b. Jadi, banyak susunan dari tiga huruf A, B dan C yang ditempatkan pada sebuah kurva tertutup yang berbentuk lingkaran seluruhnya ada : 2! = 2 macam Penenpatan unsur-unsur dengan cara seperti Gambar 2-1 disebut permutasi siklis atau permutasi sirkuler (circular permutation). Berdasarkan deskripsi diatas, dapat disimpulkan secara umu sebagai berikut, Misalkan tersedia n unsure yang berbeda. Banyak permutasi siklis dari n unsure itu ditentukan dengan aturan: P_siklis = (n - 1)! Contoh 9: Misal ada 4 orang A (Ani), B (Boy), C (Carli) dan D (Doni) menempati 4 buah kursi yang mengelilingi sebuah meja bundar. Berap[a banyak susunan yang dapat terjadi? Jawab: Banyak unsur n = 4, maka bnanyak permutasi siklis dari 4 unsur itu seluruhnya ada P_siklis = (4 – 1)! = 3! = 1 × 2 × 3 = 6 Jadi, banyaknya susunan yang dapat terjadi ada 6 macam. Kombinasi Pengertian Kombinasi Misalkan dari 3 huruf A, B dan C akan diambil dua huruf tanpa memperhatikan urutannya. Oleh karena urutan tidak diperhatikan, maka susunan AB = susunan BA, susunan AC = susunan CA, begitu pula susunan BC = susunan CB. Dengan demikian, hanya hanya terdapat 3 pilihan, yaitu susunan AB, AC, dan BC. Pilihan yang dilakukan dengan cara seperti itu disebut kombinasi 2 unsur diambil dari 3 unsur yang tersedia. Jadi, kombinasi dapat didefinisikan sebagai berikut. Definisi: Kombinasi r unsure yang diambil dari n unsure yang tersedia (tiap unsure berbeda) adalah suatu pilihan dari r unsure tanpa memperhatikan urutannya (r ≤ n) Banyak kombinasi r unsure yang diambil dari n unsure yang tersedia dilambangkan dengan notasi C_r^n Untuk menentukan banyak kombinasi r unsure yang diambil dari n unsure yang tersedia, dapat diambil kesimpulan secara umu sebagai berikut. Banyak kombinasi r unsure yang diambil dari n unsure yang tersedia ditentukan dengan aturan C_n^r = n!/(r! (n - r)!) Banyak kombinasi r unsure yang diambil dari n unsure yang tersedia dapat pula diartikan sebagai banyak cara memilih r unsure yang diambil dari n unsure yang tersedia tanpa memperhatikan urutannya. Contoh 10: Hitunglah kombinasi-kombinasi berikut ini: C_2^5 C_7^12 Jawab: C_2^5 = 5!/(2! (5-2)!) = 5!/(2! 3!) = (1 × 2 × 3 × 4 × 5 )/((1 × 2) (1 × 2 × 3) ) = 2 × 5 = 10 C_7^12 = = 12!/(7! (12-7)!) = 12!/(7! 5!) = =(1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10 × 11 × 12)/((1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7) (1 × 2 × 3 × 4 × 5) ) = 3 × 2 × 11 × 12 = 792 Contoh 11: Tiga buah huruf diambil dari huruf-huruf P, R, O, D, U, K, S dan I. Berapa banyak cara memilih ketiga huruf itu jika urutan huruf tidak diperhatikan? Jawab: Banayak unsure yang tersedia n = 8, yaitu huruf-huuruf P, R, O, D, U, K, S dan I. Diambil 3 huruf, r = 3,. Karena urutan tidak diperhatikan maka banayak cara memilih merupakan kombinasi 3 unsur yang diambil dari 8 unsur yang tersedia. C_3^8 = 8!/(3! (8 - 3)!) = 8!/(3! 5!) = =(1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 )/((1 × 2 × 3) (1 × 2 × 3 × 4 × 5) ) = 7 × 8 = 56 Jadi, banyak cara memilih 3 huruf dari huruf-huruf P, R, O, D, U, K, S dan I seluruhnya 56 macam. Contoh 12: Hitunglah nilai n, jika C_4^n = n^2 – 2n. Jawab: C_4^n = n!/(4! (n - 4)!) = (n (n-1)(n-2)(n-3)(n-4)!)/(1 × 2 × 3 × 4)(n-4)! = (n (n-1)(n-2)(n-3))/24 Karena C_4^n = n^2 – 2n = n(n – 2), maka diperleh hubugan: (n (n-1)(n-2)(n-3))/24 = 1 ↔ n^2 – 4n + 3 = 24 ↔ n^2 – 4n + 21 = 0 ↔ (n – 7) (n + 3) = 0 ↔ n = 7 atau n = -3 Ingat bahwa nilai n harus positif, sehingga nilai n yang memenuhi adalah n = 7. Contoh 13: Dari 12 orang yang terdiri dari 7 wanita dan 5 pria akan dibentuk delompok delegasi yang beranggotakan 4 orang, berapa banyak kelompok yang dapat dibentuk jika disyaratkan : a. setiap orang (12 orang) memiliki hak dipilih yang sama untuk mengikuti kelompok delegasi. b. kelompok delegasi teridiri atas 2 orang pria dan 2 wanita. Jawab : Memilih 4 orang dari 12 yang tersediamerupakan kombinasi 4 unsur yang diambil dari 12 unsur yang tersedia. C_4^12=12!/4!(12-4)!=12!/(4!.8!)= (1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12)/(1×2×3×4)(1×2×3×4×5×6×7×8) =9×5×11=495 Memilih 2 orang pria dari 5 orang pria merupakan kombinasi 2 unsur dari 5 unsur. C_2^5=5!/2!(5-2)!=5!/(2!.3!)=(1×2×3×4×5)/(1×2)(1×2×3) =10 Memilih 2 orang wanita dari 7 orang wanita merupakan kombinasi 2 unsur dari 7 unsur C_2^7=7!/2!(7-2)!=7!/(2!.5!)=(1×2×3×4×5×6×7×)/(1×2)(1×2×3×4×5) =21 Dengan aturan perkalian, maka banyaknya kelompok delegasi yang terdiri dari 2 pria dan 2 wanita adalah C_2^5×C_2^7 = 10 x 21 = 210 Jadi jumlah kelompok delegasi yang terdiri atas 2 pria dan 2 wanita adalah 210 kelompok. Kombinasi dengan pengulangan Jika urutan tidak diperhatikan dan objek bisa dipilih lebih dari satu kali, maka jumlah kombinasi yang ada adalah : (n+r-1)!/r!(n-1)! Dengan n : jumlah objek yang bisa dipilih r : jumlah yang harus dipilih. Contoh : Jika kamu pergi kesebuah toko donat, toko tersebut menyediakan 10 jenis donat berbeda. Kamu ingin membeli 3 donat, maka kombinasi yang dihasilkan adalah (10+3-1)!/3!(10-1)!=12!/3!9!=(1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12)/(1×2×3)(1×2×3×4×5×6×7×8×9) =220 kombinasi PENGERTIAN PERCOBAAN, RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN Ruang contoh atau ruang sampel Himpunan dari semua hasil yang mungkin muncul dalam percobaan melempar sekeping mata uang logam, ditulis {G, T}, disebut ruang contoh atau ruang sampel untuk percobaan itu. Ruang contoh biasanya diberi lambang huruf S. Angggota-anggota dari ruang contoh disebut titik contoh. Dalam teori himpunan, ruang contoh adalah himpunan semesta, sedangkan titik contoh adalah anggota-anggota dari himpunan semesta itu. Berdasarkan deskripsi di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa : Ruang contoh atau ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin pada sebuah percobaan. Titik contoh atau titik sampel adalah anggota-anggota dari ruang contoh atau ruang sampel. Teorema Jika ruang sempel S terdiri dari titik-titik sempel yang serupa, sehingga masing-masing memiliki peluang yang sama dan E adalah kejadian yang diharapkan terjadi, maka P(E)= n(E)/n(S) Dengan n(E) adalah jumlah anggota E dan n(S) adalah jumlah anggota ruang sempel. Frekuensi harapan Definisi : Secara formal frekuensi harapan di definisikan sebagai berikut. Frekuensi harapan suatu kejadian pada percobaan yang dilakukan N kali adalah hasil kali peluang kejadian tersebut dengan banyaknya percobaan dirumuskan F_h (E)=N.P(E). Contoh : Sekeping uang logam dilempar 10 kali. Berapa frekuensi harapan munculnya sisi gambar? Frekuensi relatif kejadian E, ditulis F_r (E), adalah banyakanya kemunculan E dibagi dengan banyaknya percobaan. F_r (E)=(Banyaknya kemunculan E)/(Banyak percobaan) Kejadian Himpunan bagian dari ruang contoh S disebut kejadian atau peristiwa (event). Kejadian sederhana atau kejadian elementer Kejadian sederhana atau kejadian elementer adalah suatu kejadian yang hanya mempunyai satu titik contoh. Pada percobaan melempar dadu berisi enam, kejadian-kejadian sederhana adalah: {1} yaitu kejadian munculnya mata dadu 1, dan {6} yaitu kejadian munculnya mata dadu 6. Kejadian majemuk Kejadian majemuk adalah suatu kejadian yang mempunyai titik contoh lebih dari satu. Pada percobaan melempar dadu berisi enam, beberapa kejadian majemuk diantaranya adalah : {3, 4} yaitu kejadian munculnya mata dadu lebih dari 2 tetapi kurang dari 5. {2, 4, 6} yaitu kejadian munculnya mata dadu genap. Ada dua notasi yang biasa digunakan untuk mengkombinasikan dua kejadian atau lebih. (1). Notasi "∩" disebut juga irisan , dalam logika matematika disebut “dan” (konjungsi) (2). Notasi "∪" disebut gabungan, dalam logika matematika disebut oprasi “atau” (disjungsi) Untuk lebih memahami kejadian majemuk mari kita ikuti percobaan berikut. Sebuah dadu dilempar satu kali. Misalkan E_1adalah kejadian munculnya mata dadu bernomer bilangan prima. Misalkan pula E_2 adalah mata dadu munculnya nomer bilangan ganjil, maka S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} E_1= {2, 3, 5} E_2= {1, 3, 5} jika kita gambarkan dalam diagram venn,maka kita peroleh hasil sebagai berikut. PELUANG SUATU KEJADIAN DAN KOMPLEMENNYA Komplemen suatu kejadian E ditulis E ̅,E^',atau E^c, adalah kejadian tidak terjadinya kejadian E, Contoh : misalkan kita melakukan percobaan mengambil sebuah kartu dari delapan kartu secara acak dari sebuah kontak. S = {1,2,3,4,5,6,7,8} Jika E = {1,3,5,7} = kejadian terambilanya kartu bernomor ganjil, maka E^c = kejadian tidak terambilnya kartu bernomer ganjil Jika E_1= {1} = kejadian kartu bernomer 1, maka E_1^c = kejadian tidak terambilnya kartu bernomer 1 = {2,3,4,5,6,7,8} Perhatikan bahwa himpunan komplemen suatu kejadian E adalah himpunan semua anggota S yang tidak termasuk himpunan E, E^c=S-E atau S=E+E^c Karena E^cmerupakan suatu kejadian (himpunan bagian S), maka peluang E^c dapat dihitung P(E^c)=n(E^c )/n(S) =n(S-E)/n(S) hubungan P(E) dan P(E^c) dapat diturunkan sebagai berikut P(E)+P(E^c)=(n(E))/(n(S))+(n(S-E))/(n(S))=(n(S))/(n(S))=1 ∴P(E)+P(E^c )=1 atau P(E^c )=1-P(E) Pada percobaan diatas P(E)=4/8=1/2 dan P(E_1 )=1/8. Sehingga, P(E^c)=1-P(E)=1/2 dan P(E_1^c )=1-P(E_1 )=7/8 Contoh : Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 3 bola putih dan 2 bola hijau. Dari dalam bola diambil bola secara acak. Tentukan peluang terambil bola bukan hijau. Jawab : S = {1,2,3,...,9,10}, n(S) = 10 Misal H = terambil bola warna hijau. Bola hijau ada 2 maka n(H) = 2. P(H)=(n(H))/(n(S))=2/10=1/5 H^c = kejadian terambil bola bukan hijau. Jadi, P(H^c)= 1 – P(H) = 1 - 1/5 = 4/5 Cara lain : Bola bukan hijau berarti bola merah atau bola putih sebanyak 8, maka n(H^c)=8. Jadi, P(H^c)=(n(H^c))/(n(S))=8/10=4/5 PELUANG DUA KEJADIAN Peluang terjadinya kejadian A atau B adalah P(A ∪B) n(A ∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B) n(A ∪B)/N=(n(A))/N+(n(B))/N-(n(A∩B))/N n(A ∪B)/(n(S))=(n(A))/(n(S))+(n(B))/(n(S))-(n(A∩B))/(n(S)) Maka, P(A ∪B) = P(A)+P(B) – P(A∩B) PELUANG KEJADIAN SALING LEPAS Kejadian A dan B “saling lepas” jika A dan B tidak dapat terjadi bersama-sama sehingga A∩B=0. peluang dua kejadian saling lepas adalah P(A ∪B) = P(A)+P(B) PELUANG KEJADIAN SALING BEBAS Jika terjadinya peristwa yang satu tidak mempengaruhi terjadinya peristiwa yang lain, maka dua kejadian disebut saling bebas, dan dinyatakan dengan : P(A∩B) = P(A)P(B) KEJADIAN BERSYARAT Suatu peristiwa B dikatakan bersyarat dari peristiwa A jika terjadinya B hanya dapat berlangsung jika kejadian A berlangsung dan dinyatakan oleh P(A∩B)=P(A)P(A│B)   RANGKUMAN Notasi Faktorial Definisi : 1.2.3.4.5.....(n-1).n = n! Dengan ketentuan : 1!=0!=1 Permutasi Permutasi adalah penyusunan unsur-unsur (obyek) dengan memperhatikan urutan. Notasi permutasi : P_r^n Rumus : P_r^n=n!/(n-r)! Permutasi Siklis P=(n-1)! Permutasi dengan banyaknya unsur sama P=n!/(a!b!…);a,b,…unsur yang sama Kombinasi Kombinasi adalah suatu susunan unsur-unsur yang tidak memperhatikan urutanya C_r^n=n!/r!(n-r)! Peluang suatu kejadian Peluang A, ditulis P(A)=(Banyaknya kejadian A yang diharapkan)/(Banyaknya hasil yang mungkin terjadi)=p(A)=(n(A))/(n(S)) dan 0≤P(A)≤1 Nilai ekspresi suatu kejadian E(A) E(A)=n.P(A) n = banyaknya suatu kejadian. Kejadian majemuk Kejadian Saling Lepas P(A ∪B) = P(A)+P(B) Dua kejadian saling bebas P(A∩B) = P(A)P(B) Kejadian Bersayarat P(A∩B)=P(A)P(A│B) EVALUASI Kota A dan kota B dihubungkan oleh 3 alternatif jalan. Kota B dan kota C juga dihubungkan dengan 3 alternatif jalan. Jika kita bepergian dari kota A ke kota C melalui kota B, ada berapa rute berbeda yang dapat ditempuh? 3 9 6 12 Berapakah nilai dari (3+5)! 43.200 4.320 40.320 4.032 Dari empat calon ketua OSIS, berapa kemungkinan susunan yang mungkin terjadi untuk menentukan sekaligus ketua, wakil ketua, bendahara dan sekertaris? 8 12 16 24 Berapakah susunan huruf yang dapat di bentuk dari kata “LUANG” jika susunan huruf tersebut terdiri atas lima huruf berbeda (tidak ada huruf yang terulang dalam susunan)? 120 25 50 240 Berapa banyak susunan huruf berbeda yang dapat dibentuk dari kata “GANGGANG”? 240 huruf 420 huruf 204 huruf 402 huruf Petugas perpustakaan akan menyusun tiga buku matematika yang sama, dua buku ekonomi yang sama dan empat buku sastra yang sama secara berderet pada sebuah rak buku. Berapakah banyak susunan berbeda yang dapat dibuat? 1.620 cara 2.160 cara 1.206 cara 1.260 cara Raymond, Dina, Emy, Rizky, Rizal, dan Eko akan mengadakan sebuah rapat tertutup disuatu meja berbentuk lingkaran. Akan ada berapa cara berbeda sehingga kedudukan seorang peserta rapat terhadap peserta rapat lainnya berbeda.? 240 120 100 200 Berapakah peluang munculnya mata dadu kurang dari 5, jika dadu dilempar sekali? 1/3 1/2 2/3 3/4 Dua uang logam dilempar bersamaan sekali, berapa peluang keluarnya satu sisi gambar? 1/4 1/3 1/2 3/4 Dua buah dadu dilempar bersamaan sebanyak 36 kali. Berapakah frekuensi harapan munculnya dua mata dadu berjumlah 11 dan 12? 1 2 3 4 Kunci Jawaban B C D A B D B C C C   DAFTAR PUSTAKA Noormandiri. B.K, 2004, Matematika Program IPA SMA kelas XI, Erlangga : Jakarta. Badruzzaman farid Hijri, 2009, Rumus saku Matematika SMAuntuk kelas 1,2,&3, Kawan Pustaka : Jakarta. Sulistiyono, Kurnianingsih Sri, Kuntarti,2006, Matematika SMA untuk kelas XI, Gelora Aksara Pratama : Jakatra.